martes, 10 de mayo de 2011

EJEMPLOS

Una empresa electrónica observa que el número de componentes que fallan antes de
Cumplir 100 horas de funcionamiento es una variable aleatoria de Poisson. Si el número
Promedio de estos fallos es ocho,
1. ¿cuál es la probabilidad de que falle un componente en 25 horas?
2. ¿y de que fallen no más de dos componentes en 50 horas?
3. ¿cuál es la probabilidad de que fallen por lo menos diez en 125 horas?


Grafica

PROPIEDADES




Varianza




APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL POR LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON

Aplicaciones


PROPIEDADES DEL PROCESO DE POISSON

El numero de resultados que ocurren en un intervalo o región especifica es independiente del numero que ocurre en cualquier otro intervalo o región del espacio disjunto. De esta forma vemos que el proceso de Poisson no tiene memoria.
La probabilidad de que ocurra un solo resultado durante un intervalo muy corto o en una región pequeña es proporcional a la longitud del intervalo o al tamaño de la región y no depende del número de resultados que ocurren fuera de este intervalo o región.

La probabilidad de que ocurra más de un resultado en tal intervalo corto o que caiga en tal región pequeña es insignificante.
El numero X de resultados que ocurren durante un experimento de Poisson se llama variable aleatoria de Poisson y su distribución de probabilidad se llama distribución de Poisson. El numero medio de resultados se calcula de µ= lambda t, donde t es el tiempo o región especifico de interés. Como sus probabilidades dependen de, la tasa de ocurrencia de los resultados, las denotaremos con el símbolo P(x; lambda t). La derivación de la fórmula para p(x; lambda t).

La distribución de probabilidad de la variable aleatoria de Poisson X, que representa el número de resultados que ocurren en un intervalo dado o región especifica que se denota con t, es:




Donde lambda es el número promedio de resultados por unidad de tiempo o región y e= 2.71828…..

DISTRIBUCION DE POISSON

Los experimentos que dan valores numéricos de una variable aleatoria X, el número de resultados que ocurren durante un intervalo dado o una región específica, se llaman experimentos de Poisson. El intervalo dado puede ser cualquier longitud, como un minuto, un día, una semana, un mes o incluso un año. Por ello un experimento de Poisson puede generar observaciones para la variable aleatoria X que representa el número de llamadas telefónicas por hora que recibe una oficina, el número de días que la escuela permanece cerrada debido a la nieve durante el invierno o el número de juegos suspendidos debido a la lluvia durante la temporada de beisbol. La región específica podría ser un segmento de línea, un área o quizá una pieza de material. En tales casos X puede representar el número de ratas de campo por acre, el número de baterías en un cultivo dado o el número de errores mecanográficos por pagina. Un experimento de Poisson se deriva del proceso de Poisson.

Siméon Denis Poisson

Siméon Denis Poisson





Matemático, astrónomo y físico francés. Fue alumno de Lagrange y Laplace en l’École Polytechnique, donde comenzó su actividad docente como ayudante de Fourier.
Miembro de la Academia de Ciencias, presidente del Bureau des Longitudesy profesor de mecánica de la Facultad de Ciencias, para Poisson “la vida es trabajo”. De su esfuerzo continuado a lo largo de su vida surgieron más de trescientas obras que recogen importantes aportaciones a la física (elasticidad, magnetismo, calor, capilaridad, mecánica celeste,…) y a la matemática (teoría de números, probabilidad, series de Fourier,…).

Su nombre está asociado a un buen número de conceptos relacionados con estas ciencias: ecuación de Poisson, coeficiente de Poisson, ley de Poisson, paréntesis de Poisson, distribución de Poisson, integral de Poisson.
Poisson nació el 27 junio de 1781 en Pithiviers, ciudad en la que su padre había sido destinado en un modesto puesto administrativo tras combatir como soldado en la guerra de los siete años. Huérfano a los 15 años, fue acogido por su tío, cirujano militar en Fontainebleau, quien trató de iniciarle en la profesión. El escaso interés de Poisson por la medicina y el fracaso de sus primera intervención, que se salda con la muerte del paciente pocas horas después, le llevan a abandonar la cirugía. De vuelta a casa encuentra, entre los papeles de su padre, una copia de las pruebas de ingreso en la Escuela Politécnica que despiertan su interés por las matemáticas y le descubren un mundo que será su futuro.

En 1798 consigue ingresar con el número uno en la Escuela Politécnica y dos años más tarde publica sus primeras memorias en el Recueil des savants étrangers, un honor excepcional para un joven de 18 años. Sus rápidos progresos llaman la atención de Laplace y Lagrange. En éstos, encontró Poisson la fuente para aprender los conceptos matemáticos y el apoyo para progresar profesionalmente, y con ellos compartió los principios de la matemática de la Revolución:

La prioridad de los resultados prácticos sobre el rigorprocedimental.
El interés por la matemática aplicada, la mecánica y la física.
La preocupación por la enseñanza de la matemática a través de la elaboración de excelentes manuales.
La consideración social de las matemáticas como instrumento necesario para el progreso y el bienestar de los ciudadanos: “el progreso y el perfeccionamiento de las matemáticas –decía Napoleón- están íntimamente ligados a la prosperidad del Estado”

Dos años después de su ingreso como alumno, en 1800, Poisson es nombrado repetidor, dos años más tarde profesor suplente y en 1806 ya es profesor titular de la Escuela Politécnica en sustitución de otro grande de la física y la matemática: Jean-Baptiste Joseph Fourier.

Comienza así una fulgurante carrera jalonada por reconocimientos y honores. En 1808 ingresa como astrónomo en el Bureau des Longitudes y un año más tarde es nombrado catedrático de mecánica racional de la Facultad de Ciencias de la Sorbona. En 1812 ingresa en la Academia de Ciencias, en 1820 en el Consejo Real de Instrucción Pública, desde donde dirige la enseñanza de las matemáticas en todos los colegios de Francia. En 1827 es nombrado geómetra del Bureau des Longitudes en sustitución de Laplace y en 1837 el rey Luís Felipe de Orleans le nombra par de Francia como representante de la ciencia francesa.

Poisson fue considerado por sus contemporáneos un gran científico y un excelente profesor pero también una persona obstinada y con excesivo amor propio, dado a discusiones y controversias. Entre ellas, podemos citar (Pajares, 1955) la mantenida con Laplace sobre la teoría de la capilaridad; con Fourier sobre la teoría del calor y con Fresnel, sobre la teoría ondulatoria. O el rechazo, junto con Lacroix, de la memoria presentada por Galois sobre las condiciones “para que una ecuación de grado primo sea resoluble por radicales” que tanta trascendencia ha tenido en el desarrollo de la matemática.